5 Gauss sats Betrakta ett vektorfält A. i låter en sluten ta, med utåtriktad normal ˆN, begränsa ett område. Antag nu att A är kontinuerligt deriverbart i hela. Under dessa premisser gäller Gauss sats div }{{ A } d A } ˆNd {{}. A d Noterbart är att Ad A ˆNd, dvs Gauss sats, har strukturella likheter med b df d f(b) f(a). I båda a d fallen fås att då vi integrerar en funktions derivata över ett givet område, så blir resultatet endast beroende av funktionens värde på randen av området. Område (volm): Begränsningsta: Ytans utsida är positivt orienterad d N Innan vi går djupare in på Gauss sats uppbggnad och dess fsikaliska tolkning, kan det vara upplsande att först se prov på såväl dess praktiska användbarhet som dess begränsningar. i ger därför två beräkningseempel nedan. Eempel : i söker flödet av A ( + 2, 3, 0) ut ur ett klot med radien R och begränsningstan. Det utgående flödet av A ur fås genom att beräkna flödesintegralen av A med utåtriktad normal ˆN till d och ges, enligt Gauss sats, av A d Ad d 4πR3 3, där vi använt oss av att ( + 2, 3, 0). Ovanstående resultat stämmer väl överrens med tidigare beräkning av samma flödesintegral, se kapitel 4.4. 3 (utsidan) + - (insidan) d R N 2 Eempel 2: Ett varnande eempel Betrakta nu ett elektriskt fält E r r 3 runt en punktladdning som är placerad vid origo. i söker flödet av E ut ur ett klot, centrerat kring origo, med radie R och begränsningsta. En direkt beräkning av flödesintegralen ger: r E ˆN }{{} d R r R2 d 3 R R 4 4πR2 4π, r R där vi utnttjat att r r R 2 på tan (sfären). Om vi istället tillämpar Gauss sats rakt av fås E d Ed [ + 2 + ] 3 d ( 2 + 2 2 + 2 }{{ 3) 3/2 2 ( 2 + 2 2 + 2 }}{{ 3) 3/2 3 ( 2 + 2 2 + 2 }}{{ 3) 3/2 } r 3/2 32 r 5/2 0d 0 4π. r 3/2 32 2 r 5/2 r 3/2 32 3 r 5/2
å, vad gjorde vi för fel? arför gav ovanstående beräkning med Gauss sats inte det rätta svaret 4π? Anledningen till denna avvikelse är att E har en singulär punkt i origo, dvs E(r) då r 0. ektorfältet E är därmed inte kontinuerligt deriverbart i hela området, då även inkluderar origo. Gauss sats kan därför inte tillämpas på problemet ifråga. i återkommer till detta varnande eempel i ett senare kapitel, för att mer utförligt diskutera hur singulära punkter likt denna bör hanteras. Divergensen Divergensen av A spelar, som snes, en central roll i Gauss sats. i tar därför nu en närmare titt på vad Gauss sats säger om just A. Om vi krmper området till ett mindre område (t.e. likt det i figuren till höger), vilket är centrerat kring punkten P, så fås att ( A) P A d, där är begränsningstan till. I ovanstående uttrck har vi utnttjat att det beskedligt varierande A är nästintill konstant inom det lilla. I gränsen 0, erhålls likheten (div A) P ( A) P 0 A d, Litet område: Δ Begränsningsta: Ytans utsida är positivt orienterad Punkt P givet Gauss sats. om kommentar kan nämnas att ovanstående formel faktiskt ibland används som själva definitionen på divergensen. En anledning därtill är att vi, med ovanstående uttrck som definition, slipper utgå ifrån (,, ), vilket bgger på ett specifikt koordinatsstem (nämligen det kartesiska). Bevis: i visar nu att ovanstående uttrck för A i punkten P även fås ur en direkt beräkning av högerledets flödesintegral, dvs utan att åberopa Gauss sats. För att förenkla beräkningen av flödesintegralen väljer vi till en låda, med sidlängderna, och (se figuren till höger). Mitt i ligger punkten P : ( 0, 0, 0 ). Det skall understrkas att samma slutresultat, dvs att ( A) P 0 A d, fås oberoende av formen på, förutsatt att krmper kring och till punkt P. 2 Lådan har se ttersidor; två av dessa är parallella med -planet, två med -planet och två med -planet. i kan därmed dela upp flödesintegralen i tre olika bidrag A d F + F + F, där F i är nettoflödet av A ut ur lådan genom de två sidor vars normal är riktad i i- led. Till eempel, nettoflödet F fås av tintegralerna över :s deltor och 2 (som är parallella med -planet, se figuren ovan). i påminner om att tan :s utsida är
positivt orienterad, vilket betder att normalen till ges av ˆ och till 2 av ˆ. i kan därmed beräkna nettoflödet F som F A ˆd + A ( ˆ)d 2 A ( 0 +,, )dd A ( 0,, )dd 2 2 [ A ( 0 + 2,, ) A ( 0 ],, ) dd, 2 där är den gemensamma projektionen av och 2 i -planet. Ovanstående uttrck kan förenklas tterligare med hjälp av integralkalklens medelvärdessats, varpå vi får att [ F A ( 0 + 2,, ) A ( 0 ] 2,, ), där (0,, ). Härnäst används differentialkalklens medelvärdessats, vilket ger att F A ( 0 + θ 2,, ) A }{{} (P ), där θ och där punkten P ligger inom. I samband med att reduceras kring och till punkt P måste även P P. Med andra ord, 0 F A (P ). På liknande sätt fås bidragen F och F till 0 0 F A (P ), F A (P ). ammantaget blir därmed 0 A d v 0 vilket var vårt mål att visa. ( (F A + F + F ) + A + A ) P ( A) P, ambandet ( A) P 0 A d ger även en tdlig fsikalisk tolkning av divergensen. om snes beskriver divergensen av A i en punkt P storleken på flödet av A ut från punkten, dvs A är ett mått på A:s spridning. e även vår tidigare diskussionen kring divergensen i kapitel 2.6. Bevis av Gauss sats Med utgångspunkt i ( A) P 0 A d,
vilken vi nss visat genom att utföra den faktiska flödesintegralsberäkningen, fås Gauss sats naturligt. i tänker oss här ett område, med begränsningstan, som uppbggt av infinitesimala lådor d, med tillhörande tor. För varje enskild låda d i gäller att Ad A d. Totalt sett, om vi lägger samman alla lådor, fås följdaktligen att Ad A d, N Område uppdelad i delområden Δ vilket är Gauss sats. Notera att det endast är flödet på :s rand som överlever i högerledet. Bidraget från tor mellan två lådor tar nämligen ut varandra, då torna som tillhör olika lådor har motriktade normaler (se figuren nedan). Fsikalisk tolkning av Gauss sats En möjlig fsikalisk tolkning av Gauss sats fås genom att betrakta en stationärt strömmande, inkompressibel och homogen vätska. ätskans hastighet, i m/s, ges av det tidsoberoende vektorfältet v(,, ). i tar nu en närmare titt på vätskan vid ett infinitesimalt område d, med begränsningstan. Ut ur d strömmar v d vd kubikmeter vätska per sekund. För att vätskans flöde skall kunna vara stationärt, dvs inte förändras med tiden, måste vd kubikmeter vätska också produceras per sekund i d. Av denna anledning kallas div v av ett tidsoberoende vektorfält v för källtätheten, vilket är lika med producerad mängd/(m 3 s). i lfter nu blicken och undersöker ett större område, med begränsningstan. Gauss sats v d vd, säger nu, i denna tolkning, att nettoflödet per sekund av vätska ut genom är samma som nettomängden vätska producerad i hela per sekund. Till sist några ord om källtätheten div v. Om ( v) P > 0 betder det att vätska skapas i d. Man kan, i princip, tänka sig att det då lokalt sker någon tp av kemisk reaktion som producerar vår vätska. Alternativt kan man tänka sig att d innesluter ett utlopp från en vattenkran ur vilken vätska flödar. Om istället ( v) P < 0 förintas (eller annihileras) vätskan istället. i har i detta fall sänkor i d. Normal vätskeflöde är förstås källfritt, dvs v 0 överallt. Källfritt fält Ett källfritt (eller solenoidalt) fält A kännetecknas av att A 0. Enligt Gauss sats fås, i detta fall, att A d 0,
för alla slutna tor (förutsatt att A är kontinuerligt deriverbart). Ovanstående likhet medför i sin tur att flödesintegralen A d (obs: ej sluten ta) endast beror av :s randurva L. i påminner här om likheten till fallet då L A dr 0 för alla L, vilket innebar att L A dr endast berodde av kurvans ändpunkter (se kapitel 4.2). En annan intressant egenskap hos ett källfritt fält A är att det kan beskrivas med hjälp av en vektorpotential B, som A B. Alla källfria vektorfält kan alltså skrivas på ovanstående form, med vektorpotentialer. i går inte in närmare på beviset, utan noterar istället att ( B) }{{ 0, } A se kapitel 2.4. Med andra ord; om ett vektorfält A kan skrivas som A B måste det också vara källfritt. Kontinuitetsekvationen i studerar nu ett tidsberoende, dvs icke-stationärt, flöde. Hastigheten v beror nu också på tiden t, dvs v(r, t). i inför även tätheten ρ(r, t), i någon mändenhet/m 3. Eemepelvis, ρ kan vara massdensiteten (med mängdenheten kg), eller energidensiteten (med mängdenheten J). Mängden av ämnet i, med begränsningsta, vid tiden t ges av M(t) ρ(r, t)d. id en kort tid, t, senare fås mängden som M(t + t) M(t) + dm dt t M(t) + ρ d t. t }{{} M Ändringen M i M kan ha två olika fsikaliska förklaringar:. Inströmning genom. Med utåtriktad normal ˆN till d, fås bidraget M ρv ˆNd t (ρv)d t, till den totala ändringen i M. ista likheten följer direkt av Gauss sats. I ovanstående uttrck har vi även använt oss av det faktum att flödesvolmen som passerar genom d i normalen ˆN:s riktning under den korta tiden t ges av v ˆNds t (se kapitel 4.3). Minustecknet framför integralen är till för att säkerställa att M > 0 vid ett nettoflöde in till (och ej ut ur). 2. Produktion i med källtätheten κ(r, t), i mängdenhet/(m 3 s). En produktion av ämnet i under tiden t ger bidraget M 2 till ändringen i M, där M 2 κd t. Noterbart här är att källtätheten κ ej tvunget är identiskt med div(ρv). Anledningen därtill är att (ρv) förknippas med utflödet av ämnet genom (se punkt ovan).
Det är således endast för stationärt strömmande vätskor, dvs för tidsoberoende v, som mängden av ämnet som produceras inom per sekund nödvändigtvis är lika med mängden som lämnar genom per sekund. Den totala ändringen i M kan alltså skrivas som M M + M 2 ρ d t (ρv)d t + t i förkortar bort t, samt ändrar om till ( ) ρ t + (ρv) κ d 0. κd t. Då området är godtckligt, måste ρ t + (ρv) κ 0, gälla. Detta är kontinuitetsekvationen. Denna ekvation är grundläggande vid alla studier av strömning. Eempelvis, med mängdenhet kg kan diffusion beskrivas och med mängdenhet J värmeledning. En liknande ekvation förekommer också inom kvantmekaniken, för att beskriva sannolikhetsströmmar.
Övningsuppgifter 5. Beräkna div F för a) F (,, ) r b) F (sin(), e 2, cos 2 ()) c) F grad Φ med Φ 3 2 3 5.2 Beräkna div F om F ˆ + ŷ + ẑ r ( 2 + 2 + 2 ) /2 r 5.3 Beräkna divergensen av vektorfälten A (,, 0) och B (,, 0), jämför med övningsuppgift.4. 5.4 Kontrollera Gauss sats för funktionen v ˆ + 2ŷ + 3ẑ. Använd kuben i figuren. 5.5 Beräkna flödet av F ut ur tan om är tan till området som begränsas av planen 0 och 2 och tan 2 + 2 4. Tag F ( 2, 2, 2 ). 5.6 Beräkna det största värde som B d antar, då är en sluten ta och B ( 3, 3, 3 )/3. Ange för vilken sluten ta som detta maimum erhålls. 5.7 Använd Gauss sats för att beräkna flödet i övningsuppgift 4.7. 5.8 F 3ˆ + 3 ŷ + 3 ẑ. Beräkna F d där är tan av halvsfären { 2 + 2 + 2 R 2 + 0 5.9 Använd Gauss sats för att beräkna flödet av vektorfältet A ( 2, 2, 2 + 2) ut ur den clindriska burk som avgränsas av torna 2 + 2,,. Kontrollera resultatet genom att beräkna flödet direkt.